Сума перших n членів геометричної прогресії

Нехай b₁; b₂; b₃; ... – геометрична прогресія, знаменник якої дорівнює q. Позначимо через S_n  суму перших n членів цієї прогресії, тобто

S_n = b₁+ b₂+ b₃+ ... b_n-1+b_n.                                         (1)

Помноживши обидві частини цієї рівності на q, одержимо:

S_n q = b₁ q + b₂ q + b₃ q + ... + b_n-1 q + b_n q_.

За означенням геометричної прогресії: b₁ · q = b₂; b₂ · q = b₃;…;
 b_n-1· q = b_n. Тоді:

S_n q = b₂+ b₃ + ... + b_n + b_n q_.                                  (2)

Віднімемо почленно від рівності (1) рівність (2), одержимо:

S_n - S_nq= b₁+b₂+ b₃ + ... + b_n – (b₂+ b₃ + ... + b_n +b_n q)= b₁- b_n q;

S_n(1-q)=b₁-b_nq.

Якщо q не дорівнює 1, то S_n=(b₁-b_nq)/(1-q).                                     (3)

Врахувавши, що b_n= b₁ · q^n-1, одержимо S_n=(b₁-b_nq)/(1-q). Отже, S_n=(b₁-b_nq)/(1-q)  або S_n=b_n(q-1)/(q-1).                 (4)

Формули (3) і (4) називають формулами суми перших n членів геометричної прогресії.

Якщо q=1, то кожний член геометричної прогресії дорівнює b₁ , тому S_n=nb_1.

Знайдемо суму нескінченної прогресії, у якій -1<q<1.

Нехай b₁; b₂; b₃; ... – довільна нескінченна геометрична прогресія, у якій -1<q<1.

Сума перших n членів цієї прогресії обчислюється за формулою S_n=(b₁-b_nq)/(1-q). Перетворимо вираз у правій частині останньої рівності: S_n=(b₁/1-q-b₁/1-q))·qⁿ. Оскільки -1<q<1, то при необмеженому збільшеному збільшенні n множник qⁿ прямує до нуля, а, отже, до нуля прямує і добуток (b₁/1-q)·qⁿ  . Тоді сума  S_n прямує до числа b₁/1-q.

Число  b₁/1-q називають сумою нескінченної геометричної прогресії зі знаменником -1<q<1   і записують b₁+ b₂+ b₃+… = b₁/1-q. Позначимо цю суму через S. Тоді S= b₁/1-q.

Одержану формулу називають формулою суми нескінченної геометричної прогресії, у якій -1<q<1.

Формула n-го члена геометричної прогресії

 Щоб задати геометричну прогресію (b_n), досить вказати її перший член і знаменник, а наступні члени можна знайти за формулою

Щоб знайти член цієї прогресії з великим порядковим номером, наприклад, b₅₀, потрібно виконати багато обчислень. Тому відшукання членів геометричної прогресії за формулою b_n+1 = b_n · q часто є незручним.

Знайдемо коротший шлях відшукання n-го члена геометричної прогресії (b_n) зі знаменником q.

За означенням геометричної прогресії маємо:

b₂= b₁ · q;                

b₃= b₂ · q= b₁ q· q = b₁ · q²;

b₄= b₃ · q= b₁ q²· q = b₁ · q³.

Зауважуємо, що у цих формулах показник числа q на одиницю менший від порядкового номера члена послідовності, який шукаємо. Так, b₂₀= b₁ · q¹⁹. Отже, можемо записати  b_n= b₁ · q^n-1.

Одержану формулу називають формулою n-го члена геометричної прогресії.

Означення та властивості геометричної прогресії

Означення: Геометричною прогресією називають послідовність відмінних від нуля чисел, кожний член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому, помноженому на одне й те ж число.

Це число називають знаменником геометричної прогресії та позначають буквою q (початкова буква французького слова «qwoti» — частка).

Отже, якщо маємо геометричну прогресію b₁; b₂; b₃; ..., то b₂ = b₁·q;

b₃ = b₂·q; ..., тобто для будь-якого натурального n виконується рівність

b_n+1 = b_n·q.

З означення геометричної прогресії випливає, що частка від ділення будь-якого її члена, починаючи із другого, на попередній член дорівнює одному й тому ж числу — знаменнику q, тобто: b₂/b₁=q, b₃/b₂=q, … Отже, b_n+1/b_n=q.

Правильно і навпаки: якщо у деякій послідовності частка від ділення

будь-якого її члена, починаючи із другого, на попередній член дорівнює одному й тому ж числу, то така послідовність є геометричною прогресією.

Геометричні прогресії, як і арифметичні, можуть бути скінченними і нескінченними.

Розглянемо властивості геометричної прогресії.

Властивість 1. Квадрат будь-якого члена геометричної прогресії, починаючи із другого, дорівнює добутку двох сусідніх з ним членів.

Нехай маємо геометричну прогресію (b_n) зі знаменником q. Тоді при n>1виконуються рівності: b_n/b_n-1=q, b_n+1/b_n=q. Звідси: b_n/b_n-1= b_n+1/b_n.. Отже, квадрат будь-якого члена геометричної прогресії, починаючи із другого, дорівнює добутку двох сусідніх з ним членів.

Правильно і навпаки: якщо у деякій послідовності відмінних від нуля чисел квадрат будь-якого члена, починаючи з другого, дорівнює добутку двох сусідніх з ним членів, то ця послідовність є геометричною прогресією.

Нехай b₁; b₂; b₃; ... – послідовність відмінних від нуля чисел, у якій квадрат будь-якого члена, починаючи з другого, дорівнює добутку двох сусідніх з ним членів. Із цієї рівності матимемо: b_n·b_n= b_n-1·b_n+1; b_n/b_n-1= b_n+1·b_n. Звідси випливає, що частки від ділення членів послідовності на попередні до них члени однакові, а тому задана послідовність є геометричною прогресією.

Отже, послідовність відмінних від нуля чисел, у якій квадрат будь-якого члена, починаючи з другого, дорівнює добутку двох сусідніх з ним членів, є геометричною прогресією.

Властивість 2. Добутки членів скінченної геометричної прогресії, рівновіддалених від її крайніх членів, однакові й дорівнюють добутку крайніх членів.

Для довільної скінченної скінченної геометричної прогресії
b₁; b₂; b₃; ... b_n.  Нехай b₁· b_n = m. Тоді , b₂·b_n-1=b₁q·b_n/q=b₁·b_n=m, b₃·b_n-2=b₂q·b_n-1/q=b₂·b_n-1=m. Отже, добутки членів скінченної геометричної прогресії, рівновіддалених від її крайніх членів, однакові й дорівнюють добутку крайніх членів.