Означення та властивості геометричної прогресії

Означення: Геометричною прогресією називають послідовність відмінних від нуля чисел, кожний член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому, помноженому на одне й те ж число.

Це число називають знаменником геометричної прогресії та позначають буквою q (початкова буква французького слова «qwoti» — частка).

Отже, якщо маємо геометричну прогресію b₁; b₂; b₃; ..., то b₂ = b₁·q;

b₃ = b₂·q; ..., тобто для будь-якого натурального n виконується рівність

b_n+1 = b_n·q.

З означення геометричної прогресії випливає, що частка від ділення будь-якого її члена, починаючи із другого, на попередній член дорівнює одному й тому ж числу — знаменнику q, тобто: b₂/b₁=q, b₃/b₂=q, … Отже, b_n+1/b_n=q.

Правильно і навпаки: якщо у деякій послідовності частка від ділення

будь-якого її члена, починаючи із другого, на попередній член дорівнює одному й тому ж числу, то така послідовність є геометричною прогресією.

Геометричні прогресії, як і арифметичні, можуть бути скінченними і нескінченними.

Розглянемо властивості геометричної прогресії.

Властивість 1. Квадрат будь-якого члена геометричної прогресії, починаючи із другого, дорівнює добутку двох сусідніх з ним членів.

Нехай маємо геометричну прогресію (b_n) зі знаменником q. Тоді при n>1виконуються рівності: b_n/b_n-1=q, b_n+1/b_n=q. Звідси: b_n/b_n-1= b_n+1/b_n.. Отже, квадрат будь-якого члена геометричної прогресії, починаючи із другого, дорівнює добутку двох сусідніх з ним членів.

Правильно і навпаки: якщо у деякій послідовності відмінних від нуля чисел квадрат будь-якого члена, починаючи з другого, дорівнює добутку двох сусідніх з ним членів, то ця послідовність є геометричною прогресією.

Нехай b₁; b₂; b₃; ... – послідовність відмінних від нуля чисел, у якій квадрат будь-якого члена, починаючи з другого, дорівнює добутку двох сусідніх з ним членів. Із цієї рівності матимемо: b_n·b_n= b_n-1·b_n+1; b_n/b_n-1= b_n+1·b_n. Звідси випливає, що частки від ділення членів послідовності на попередні до них члени однакові, а тому задана послідовність є геометричною прогресією.

Отже, послідовність відмінних від нуля чисел, у якій квадрат будь-якого члена, починаючи з другого, дорівнює добутку двох сусідніх з ним членів, є геометричною прогресією.

Властивість 2. Добутки членів скінченної геометричної прогресії, рівновіддалених від її крайніх членів, однакові й дорівнюють добутку крайніх членів.

Для довільної скінченної скінченної геометричної прогресії
b₁; b₂; b₃; ... b_n.  Нехай b₁· b_n = m. Тоді , b₂·b_n-1=b₁q·b_n/q=b₁·b_n=m, b₃·b_n-2=b₂q·b_n-1/q=b₂·b_n-1=m. Отже, добутки членів скінченної геометричної прогресії, рівновіддалених від її крайніх членів, однакові й дорівнюють добутку крайніх членів.