Сума перших n членів геометричної прогресії

Нехай b₁; b₂; b₃; ... – геометрична прогресія, знаменник якої дорівнює q. Позначимо через S_n  суму перших n членів цієї прогресії, тобто

S_n = b₁+ b₂+ b₃+ ... b_n-1+b_n.                                         (1)

Помноживши обидві частини цієї рівності на q, одержимо:

S_n q = b₁ q + b₂ q + b₃ q + ... + b_n-1 q + b_n q_.

За означенням геометричної прогресії: b₁ · q = b₂; b₂ · q = b₃;…;
 b_n-1· q = b_n. Тоді:

S_n q = b₂+ b₃ + ... + b_n + b_n q_.                                  (2)

Віднімемо почленно від рівності (1) рівність (2), одержимо:

S_n - S_nq= b₁+b₂+ b₃ + ... + b_n – (b₂+ b₃ + ... + b_n +b_n q)= b₁- b_n q;

S_n(1-q)=b₁-b_nq.

Якщо q не дорівнює 1, то S_n=(b₁-b_nq)/(1-q).                                     (3)

Врахувавши, що b_n= b₁ · q^n-1, одержимо S_n=(b₁-b_nq)/(1-q). Отже, S_n=(b₁-b_nq)/(1-q)  або S_n=b_n(q-1)/(q-1).                 (4)

Формули (3) і (4) називають формулами суми перших n членів геометричної прогресії.

Якщо q=1, то кожний член геометричної прогресії дорівнює b₁ , тому S_n=nb_1.

Знайдемо суму нескінченної прогресії, у якій -1<q<1.

Нехай b₁; b₂; b₃; ... – довільна нескінченна геометрична прогресія, у якій -1<q<1.

Сума перших n членів цієї прогресії обчислюється за формулою S_n=(b₁-b_nq)/(1-q). Перетворимо вираз у правій частині останньої рівності: S_n=(b₁/1-q-b₁/1-q))·qⁿ. Оскільки -1<q<1, то при необмеженому збільшеному збільшенні n множник qⁿ прямує до нуля, а, отже, до нуля прямує і добуток (b₁/1-q)·qⁿ  . Тоді сума  S_n прямує до числа b₁/1-q.

Число  b₁/1-q називають сумою нескінченної геометричної прогресії зі знаменником -1<q<1   і записують b₁+ b₂+ b₃+… = b₁/1-q. Позначимо цю суму через S. Тоді S= b₁/1-q.

Одержану формулу називають формулою суми нескінченної геометричної прогресії, у якій -1<q<1.