Нехай b1; b2; b3;
... – геометрична прогресія, знаменник якої дорівнює q. Позначимо через Sn суму перших n членів цієї прогресії, тобто
Sn = b1+ b2+
b3+ ... bn-1+bn. (1)
Помноживши обидві частини цієї рівності на q, одержимо:
Sn
q = b1 q + b2 q + b3 q + ... + bn-1 q + bn
q.
За означенням геометричної
прогресії: b1 · q = b2; b2 ·
q = b3;…;
bn-1· q = bn. Тоді:
bn-1· q = bn. Тоді:
Sn q = b2+ b3
+ ... + bn + bn q. (2)
Віднімемо почленно від рівності (1) рівність (2),
одержимо:
Sn - Snq= b1+b2+ b3 + ...
+ bn – (b2+ b3 + ...
+ bn +bn q)= b1-
bn q;
Sn(1-q)=b1-bnq.
Якщо q не дорівнює 1, то Sn=(b1-bnq)/(1-q). (3)
Врахувавши, що bn= b1 · qn-1, одержимо Sn=(b1-bnq)/(1-q). Отже, Sn=(b1-bnq)/(1-q) або Sn=bn(q-1)/(q-1). (4)
Формули (3) і (4) називають
формулами суми перших n членів
геометричної прогресії.
Якщо q=1, то кожний член геометричної прогресії дорівнює b1
, тому Sn=nb1.
Знайдемо суму нескінченної
прогресії, у якій -1<q<1.
Нехай b1; b2;
b3; ... – довільна нескінченна геометрична прогресія, у якій -1<q<1.
Сума перших n членів цієї прогресії обчислюється за
формулою Sn=(b1-bnq)/(1-q). Перетворимо вираз у правій частині останньої рівності: Sn=(b1/1-q-b1/1-q))·qn. Оскільки -1<q<1, то при необмеженому збільшеному збільшенні n множник qn прямує до нуля, а,
отже, до нуля прямує і добуток (b1/1-q)·qn
. Тоді сума
Sn
прямує до числа b1/1-q.
Число
b1/1-q називають сумою
нескінченної геометричної прогресії зі знаменником -1<q<1
і записують b1+
b2+ b3+… = b1/1-q. Позначимо цю суму через S. Тоді S= b1/1-q.
Одержану формулу називають формулою суми нескінченної геометричної
прогресії, у якій -1<q<1.